一元二次方程初三数学单元试题附答案详解
一元二次方程初三数学单元试题
2.若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于( )
A.1 B.2 C.1或﹣1 D.0
3.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A.﹣3 B.3 C.0 D.0或3
4.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是( )
A.2020 B.2008 C.2014 D.2012
5.关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为( )
A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
7.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
8.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =10
9.某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为xm，则可列方程( )
A.x(x﹣10)=375 B.x(x+10)=375 C.2x(2x﹣10)=375 D.2x(2x+10)=375
10.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )
A.32 B.126 C.135 D.144
二、填空题
11.一元二次方程x2﹣3=0的根为 .
12.如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是 .
13.已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则 的值为 .
14.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则 + 等于 .
15.若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则 = .
16.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 %.
三、解答题(共52分)
17.解下列方程：
(1)2x2﹣4x﹣5=0.
(2)x2﹣4x+1=0.
(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0.
18.试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数.
19.已知实数，满足a2+a﹣2=0，求 的值.
20.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
(1)求4△3的值;
(2)求(x+2)△5=0中x的值.
21.已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22= ，试求m的值.
22.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.
23.某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下.若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?
(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?
一元二次方程初三数学单元试题答案
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件：
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.
【解答】解：由题意得：
a2﹣1≠0，
解得a≠±1.
故选C.
【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
2.若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于( )
A.1 B.2 C.1或﹣1 D.0
【考点】一元二次方程的一般形式.
【专题】计算题.
【分析】根据常数项为0列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.
【解答】解：∵x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，
∴m2﹣1=0，
解得：m=1或﹣1.
故选C
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A.﹣3 B.3 C.0 D.0或3
【考点】一元二次方程的解.
【分析】直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可.
【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴1+m+2=0，
∴m=﹣3.故选A.
【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数.
4.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是( )
A.2020 B.2008 C.2014 D.2012
【考点】一元二次方程的解.
【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可.
【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a•12+b•1+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2015﹣a﹣b=2013﹣(a+b)=2015﹣(﹣5)=2020.
故选：A.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值.
5.关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】根的判别式;一元一次不等式组的整数解.
【分析】由于关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，分情况讨论：
①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根;
②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值.
【解答】解：∵关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，
∴①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根;
②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，
∴△=25+12(2﹣a)≥0，
解之得a≤ ，
∴整数a的最大值是4.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论.
6.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为( )
A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】配方法.
【分析】配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9.故选D.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.
7.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
【考点】根的判别式;一次函数图象与系数的关系.
【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得;k<0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k>0，即可得出答案.
【解答】解：根据函数y=kx+b的图象可得;k<0，b<0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k>0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出△的符号.
8.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =10
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】其他问题;压轴题.
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x﹣1)次，x人共需握手x(x﹣1)次;而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手： 次;已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程.
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1(次);
依题意，可列方程为： =10;
故选B.
【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键;需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制.
9.某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为xm，则可列方程( )
A.x(x﹣10)=375 B.x(x+10)=375 C.2x(2x﹣10)=375 D.2x(2x+10)=375
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】几何图形问题.
【分析】如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m，根据面积为375，即可列出方程.
【解答】解：设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m;
则根据矩形的面积公式：x(x﹣10)=375;
故选A.
【点评】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程.
10.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )
A.32 B.126 C.135 D.144
【考点】一元二次方程的应用.