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等比数列求和公式及练习题

时间: 焯杰2 中考数学备考

  等比数列求和公式:

  (2)等比数列求和公式:Sn=nA1(q=1)

  Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

  =(a1-a1q^n)/(1-q)

  =(a1-an*q)/(1-q)

  =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)

  (前提:q≠ 1)

  任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

  等比中项定义:从第二项起,每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。

  (5)无穷递缩等比数列各项和公式:

  无穷递缩等比数列各项和公式:对于等比数列 的前n 项和,当n 无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项和。

  性质

  ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;

  ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

  “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

  ③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则

  (a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…

  (can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。

  (4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列。

  (5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。

  (6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数。

  (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

  (8) 数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,

  在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

  注意:上述公式中A^n表示A的n次方。

  (6)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

  等比数列求和练习题:

  一. 选择题:

1. 在各项都为正数的等比数列 中,首项 ,前三项和为21,则 等于( )

  A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

2. 若等比数列 的公比 ,前 项和为 ,则 与 的大小关系是( ) A. B. C. D. 不确定 3. 已知数列 满足 , ( ),则当 时, 等于( ) A. B. C. D. 4. 在数列 中,若 ,则 等于( ) A. B. C. D. 5. 化简 ( )的结果是( ) A. B. C. D. 6. 数列 的前 项和为 ,则 等于( ) A. 1003 B. C. 2006 D. 7. 等于( ) A. B. C. D. 或 8. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为 ,第三年的增长率为 ,这两年的平均增长率为 ,则下列关系正确的是( ) A. B. C. D.

  二. 解答题:

1. 等比数列 的各项均为正数,其前 项中,数值最大的一项是54,若该数列的前 项之和为 ,且 =80, ,求: (1)前100项之和 ; (2)通项公式 。 2. 已知数列1, , ,…, ( ),求数列的前 项和。 3. 已知 (1)当 时,求数列 的前 项和 ; (2)求 4. 设数列 是公差为 ,且首项为 的等差数列,求和:

  一.

  1. C

解析:∵ , ∴ 或 (舍) 而

  2. A

解析:由等比数列通项公式和前 项和公式得 又 ,则 , 即

  3. C

解析:由已知 且 得到 , , , 由此猜想出

  4. D

解析:由 ,得 ( ),当 时, 不适合,所以

  5. B

解析:∵ ∴

  6. A

解析: (共1003个)=1003

  7. D

解析:原式

  8. B

解析:设平均增长率为 ,则第三年产量为 ,所以应该有 即 ∴ 从而

  二.

1. 解:设公比为 ∵ ∴ ,则最大项是 (∵ ) ① 又 ② ③ 由①②③解得 ,则 (1)前100项之和 (2)通项公式为 2. 解:由题意可知, 的通项是等差数列 的通项与等比数列 的通项之积,设 ① ②(设置错位) ①-②得 (错位相减) 当 时,利用等比数列的求和公式,得 ∴ 当 时,

  3. 解析:

(1)当 时, ,这时数列 的前 项和 +…+ ① ①式两边同乘以 ,得 ② ①式减去②式,得 若 , 若 (2)由(1),当 时, 则 当 时, 此时, 若 , 若 , 4. 解析:∵ ∴ ∴ 又 ∴
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