高中数学椭圆单元练习题附答案

高中数学椭圆练习题一、选择题

2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+=1

3.(2013·安康模拟)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率

是(　　)

(A) (B) (C)或 (D)或

4.已知椭圆:+=1(0b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

6.(能力挑战题)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

返回目录

高中数学椭圆练习题二、填空题

7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为　　　　

8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是　　　　

9.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　

返回目录

高中数学椭圆练习题三、解答题

10.(2013·西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.

(1)求曲线C的方程.

(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.

试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.

11.(2013·渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.

12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.

(1)求点M的轨迹C的方程.

(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

返回目录

高中数学椭圆练习题答案

1.【解析】选B.由题意得2a=2b,即a=b.

又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得离心率e=.

2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.

知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.

又e==,

∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,

∴椭圆的标准方程为+=1.

3.【解析】选C.因为m是2和8的等比中项，所以m2=16，所以m=±4.当m=4时，圆锥曲线为椭圆x2+=1，离心率为，当m=-4时，圆锥曲线为双曲线x2-=1，离心率为，综上选C.

4.【解析】选D.由题意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因为|BF2|+|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A(-c，)，B(-c，-)，代入椭圆方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，选D.

5.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,)或(-c,-),因为∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为.

6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P,使得|PF1|+|PF2|最小时的椭圆方程.

【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.

点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),

设点P为直线与椭圆的公共点,

则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.

取等号时离心率取最大值,

此时椭圆方程为+=1.

7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).

∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.

答案:+=1

8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x<3,故舍去),

又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16×()2+25y2=400,

解得y=2,

∴=|F1F2|·y=×6×2=6.

答案:6

9.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.

【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.

又点P在椭圆内部,所以有c20,∴k2>,………………②

则x1+x2=,x1·x2=,代入①,得

(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,

∴k=2或k=-2,满足②式.

所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.

11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.

因为离心率e==,所以c=.

故b2=a2-c2=1,

所以椭圆C的方程为:+y2=1.

(2)直线l:y=kx+,

由

消去y可得(4k2+1)x2+

8kx+4=0,

因为直线l与椭圆C相交于P,Q,

所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,

解得|k|>.

又x1+x2=,x1x2=,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),

因为线段PQ的中点横坐标是-,

所以x0===-,

解得k=1或k=,

因为|k|>,所以k=1,

因此所求直线l:y=x+.

12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),

圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,

从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,

∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,

则短半轴b===1,

椭圆方程为:+ y2=1.

(2)设K(x0,y0),则+=1.

∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,

∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.

又A(-2,0),∴直线AQ的方程为y=(x+2).

令x=2,得D(2,).

又B(2,0),N为DB的中点,∴N(2,).

∴=(x0,2y0),=(x0-2,).

∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,

∴⊥,∴直线QN与以AB为直径的圆O相切.

返回目录

简短的数学学习方法

学习是一个不断温故而知新的过程，每个人的学习方法不经相同，也许我的学习方法不是最好的，但是找到最合适自己的，才最有效的。今天，小编给大家带来简短的数学学习方法。

一：课后复习：我每天课后除了完成老师的作业外，首先我会把当天的知识回顾一遍，尤其是对作业中的错题要进行整理，把错题摘抄到我的错题本上，把错题原因，解决方法总结一下，再把错题重新做一遍。加深印象。概念性的知识点，做到背熟。

二：重要的错题本了，把错题收集在错题本上，按照课后复习里提到的错题整理方法把错题再梳理一遍。最后再了解一下自己的分数在班级或年级成绩里是一个什么档次。这并不是过分在意分数，而是了解自己实力的好办法。

三：考前复习：在考试之前，我一般不会过多的去做题了，只是把错题本拿出来再看看，把没有把握的，或有疑问的题再看看，就休息了。好的精神状态在考试时是非常重要的。

四:　考后总结：我一般拿到卷子会先看自己哪错了，分析一下错题，是不懂错的，还是粗心错的，但是一般都是粗心错的，这是我的弱项，还是要加强细心程度。

返回目录

数学解题的七种技巧

一、 熟悉化策略

所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。

一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论(或问题)两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式上多下功夫。

常用的途径有：

(一)、充分联想回忆基本知识和题型：

按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

(二)、全方位、多角度分析题意：

对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的`解题方向。

(三)恰当构造辅助元素：

数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。

二、简单化策略

所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。

简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。

因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。

解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。

1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：

在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。

因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。

2、分类考察讨论：

在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论(或问题)包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。

3、简单化已知条件：

有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。

4、恰当分解结论：

有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。

三、直观化策略：

所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。

(一)、图表直观：

有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。

对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。

(二)、图形直观：

有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。

(三)、图象直观：

不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。

四、特殊化策略

所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。

五、一般化策略

所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。

六、整体化策略

所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。

七、间接化策略

所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论(或问题)的反面进行思考，以便化难为易解出原题。

返回目录