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高三数学月考试题附答案

时间: 思晴2 数学备考

  高三数学月考试题一、选择题

  1.已知集合 , ,则 ( B )

  A. B. C. D.

  2. 下列函数中既是奇函数,又在 上单调递增的是 ( C )

  A. B. C. D.

  3. 给出两个命题:命题 命题“存在 ”的否定是“任意 ”;命题 :函数 是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )

  A. B. C. D.

  4.若函数f(x)=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a等于( D )

  A.-1 B.1 C.-2 D. 2

  5 已知函数 是函数 的导函数,则 的图象大致是( A )

  A. B. C. D.

  6.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且 的一个充分不必要条件是 ,则a的取值范围是 ( B )

  A.(-∞,1]   B.[1,+∞) C.[-1,+∞)  D.(-∞,-3]

  7.7. 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是 (  B )

  A.(0,2) B.(-∞,1] C.(-∞,1) D.(0,2]

  8.若f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为( C )

  A.(1,+∞) B.(4,8) C.[4,8) D.(1,8)

  9. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当 时,不等式 成立,若a=30.2 f(30.2),b= (logπ2) f(logπ2), c= f ,则 , , 间的大小关系 (  A )

  A. B. C.    D.

  10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f( )+f( )≤2f(2),则a的取值范围是( D)

  A.(-∞,4] B. (0,4] C. D.

  11.(文)已知 是奇函数,则 ( A )

  A..14 B. 12 C. 10 D.-8

  11. (理)若函数 的大小关系是 (C )

  A. B.

  C. D.不确定

  12.已知函数y=f(x)为奇函数,且 对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1).给出以下4个结论:其中所有正确结论的为 ( A )

  ①函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;

  ②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;

  ③函数y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增;

  ④当x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x).

  A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④

  高三数学月考试题二、填空题

  (本大题共有4道小题,每小题5分,共20分)

  13.已知实数 满足 则 的最大值__-4_______

  14. 已知 ,则函数 在点 处的切线 与坐标轴围成的三角形面积为 .

  15. 若函数 ( )满足 且 时, ,函数 ,则函数 在区间 内零点的个数有__12_个.

  16. 存在区间 ( ),使得 ,

  则称区间 为函数 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数:

  ① ;② ;③ ; ④

  其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .(把所有正确的序号都填上)

  高三数学月考试题三、解答题

  (本大题共有5道小题,每小题12分,共60分)

  17.(本小题满分12分)

  设向量 , ,其中 , ,函数

  的图象在 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 ,在原点右侧与 轴的第一个交点为 .

  (Ⅰ)求函数 的表达式;

  (Ⅱ)在 中,角A,B,C的对边分别是 ,若 ,

  且 ,求边长 .

  解:解:(I)因为 , -----------------------------1分

  由题意 , -----------------------------3分

  将点 代入 ,得 ,

  所以 ,又因为 -------------------5分

  即函数的表达式为 . --- ------------------6分

  (II)由 ,即

  又 ------------------------8分

  由 ,知 ,

  所以 -----------------10分

  由余弦定理知

  所以 ----------------------------------- -----------------12分

  18.(文)(本小题满分12分)为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:

  评估的平均得分

  全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀

  (Ⅰ)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;

  (Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

  【解析】:

  (Ⅰ)6条道路的平均得分为 .-----------------3分

  ∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分

  (Ⅱ)设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. -----7分

  从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为: , , , , , , , , , , , , , , ,共 个基本事件. -----------------9分

  事件 包括 , , , , , , 共 个基本事件,

  ∴ .

  答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .------12分

  18.(理)(本小题满分l 2分)

  在2015年全国高校自主招生考试中,某高校设 计了一个面试考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23,且每题正确回答与否互不影响.

  (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望;

  (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.

  解析:(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η,则ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=1)=C14C22C36=15 ,P(ξ=2)=C24C12C36=35,P(ξ=3)=C34C02C36=15,

  ∴考生甲正确完成题数的 分布列为

  ξ 1 2 3

  P 15

  35

  15

  Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分

  又η~B(3,23),其分布列为P(η=k)=Ck3•(23)k•(13)3-k,k=0,1,2,3;

  ∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分

  (II)∵Dξ=(2-1)2×15+(2-2)2×35+(2-3)2×15=25,

  Dη=npq=3×23×13=23, ∴Dξ

  ∵P(ξ≥2)=35+15=0.8,P(η≥2)=1227+827≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ………………10分

  从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.………………12分

  19(理)在四棱锥 中, 平面 , 是 的中点,

  , , .

  (Ⅰ)求证: ;

  (Ⅱ)求二面角 的余弦值.

  解:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , ,

  则 ∥ .

  因为

  所以 .………………………………1分

  因为 平面 , 平面

  所以

  又

  所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分

  因为 平面 ,所以 ⊥ ;

  又 ∥ ,所以 ;

  又因为 , ;

  所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分

  因为 平面 ,所以 …………………… ……6分

  (注:也可建系用向量证明)

  (Ⅱ)以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 .

  则 , , , , ,

  , .

  ………………………………………………8分

  设平面 的法向量为 ,则 所以

  令 .所以 . ……………………9分

  由(Ⅰ)知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .

  同理 ⊥ .所以 平面

  所以平面 的一个法向量 . …………………10分

  所以 , ……………………11分

  由图可知,二面角 为锐角,

  所以二面角 的余弦值为 . ……………………12分

  19.(文)在四棱锥 中, 平面 ,

  是 的中点, ,

  , .

  (Ⅰ)求证: ∥平面 ;

  (Ⅱ)求证: .

  证明:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , .

  则有 ∥ .

  因为 平面 , 平面

  所以 ∥平面 .……………………2分

  由题意知 ,

  所以 ∥ .

  同理 ∥平面 .…………………4分

  又因为 平面 , 平面 ,

  所以 平面 ∥平面 .

  因为 平面

  所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分

  (Ⅱ)取 的中点 ,连接 , ,则 ∥ .

  因为 ,所以 .………………………………… ……7分

  因为 平面 , 平面 ,所以

  又

  所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分

  因为 平面 所以 ⊥

  又 ∥ ,所以

  又因为 ,

  所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分

  因为 平面

  所以 ………………………………………………………………12分

  20. (本小题满分12分) 已知椭圆 的离心率为 ,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切..

  (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

  (Ⅱ)若直线 与椭圆C相交于A、B两点,且 ,判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.

  【解析】:

  (1)由题意知 ,∴ ,即 ,

  又 ,∴ ,

  故椭圆的方程为 4分

  (II)设 ,由 得

  12分

  21.(文)已知函数 ,其中a∈R.

  (1)当 时,求曲线 在点 处的切线的斜率;

  (2)当 时,求函数 的单调区间与极值.

  解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.

  所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e. …4分

  (2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex

  令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2, …6分

  由a≠23知,-2a≠a-2.

  以下分两种情况讨论:

  ①若a>23,则-2a

  x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞)

  f′(x) + 0 - 0 +

  f(x) 极大值 极小值

  所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数.

  函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.

  函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. …9分

  ②若a<23,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

  x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞)

  f′(x) + 0 - 0 +

  f(x) 极大值 极小值

  所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数.

  函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.

  函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. …12分

  21. (理)已知函数 ( ).

  (1) 当 时,证明:在 上, ;

  (2)求证: .

  解:(1) 根据题意知,f′(x)=a1-xx (x>0),

  当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞);

  当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1];

  当a=0时,f(x)不是 单调函数.

  所以a=-1时,f( x)=-ln x+x-3, 在(1,+∞)上单调递增,

  所以f(x)>f(1 ),

  即f(x)>-2,所以f(x)+2>0. …………6分

  (2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0,即-ln x+x-1> 0,

  所以ln x

  则有0

  ∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1n(n≥2,n∈N*). …12分

  高三数学月考试题四、选考题

  请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

  22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

  直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD.

  (Ⅰ )求证:直线AB是⊙O的切线;

  (Ⅱ)若tan∠CED=12,⊙O的半径为3,求OA的长.

  解:(1)证明:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥OB,又∵OC是圆的半径,∴AB是圆的切线. ……4分

  (2)∵ED是直径,∴∠ECD=90°,∴∠E+∠EDC=90°,

  又∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC,

  ∴△BCD∽△BEC,∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE,

  又tan∠CED=CDEC=12,△BCD∽△BEC,BDBC=CDEC=12,

  设BD=x,则BC=2x,∵BC2=BD•BE,∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2,

  ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分

  23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

  已知曲线 (t为参数), ( 为参 数).

  (Ⅰ)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

  (Ⅱ)过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点,求 .

  解:⑴

  曲线 为圆心是 ,半径是1的圆.

  曲线 为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆.……4分

  ⑵曲线 的左顶点为 ,则直线 的参数方程为 ( 为参数)

  将其代入曲线 整理可得: ,设 对应参数分别为 ,则

  所以 ……………10分

  24.(本小题满分10分)选 修4—5:不等式选讲

  已知函数 ,且 的解集为 .

  (Ⅰ)求 的值;

  (Ⅱ)若 ,且 ,求证: .

  解:(Ⅰ)因为 ,所以 等价于 ,…2分

  由 有解,得 ,且其解集为 . …4分

  又 的解集为 ,故 .…(5分)

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知

  ,又 , …7分∴ ≥ =9.9分

  (或展开运用基本不等式)

  ∴ ….10分


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